Unidad 2 - Análisis de Varianza (ANOVA) & Diseño Experimental

Objetivos Estratégicos de la Sesión

Hoja de ruta para el diseño y análisis experimental de múltiples tratamientos.

Hoja de Ruta

1

Inflación del Error Alfa

Comprender por qué realizar múltiples pruebas t independientes destruye la confiabilidad estadística global del experimento.

2

Descomposición de Sumas de Cuadrados

Dominar la partición de la varianza total en componente explicada por tratamientos ($SS_{Between}$) y residuo experimental ($SS_{Within}$).

3

Validación de Homocedasticidad

Diagnosticar la igualdad de varianzas poblacionales con el test de Levene como condición obligatoria previa al estadístico F.

4

Análisis Post-Hoc y Kruskal-Wallis

Identificar qué pares específicos difieren con Tukey HSD y aplicar alternativas no paramétricas ante el incumplimiento de supuestos.

Todo el flujo experimental será validado en el notebook 10_anova_1_factor_dca.ipynb.

1. ¿Por qué no usar múltiples test t?

El fenómeno de acumulación del error en contrastes simultáneos.

Multiplicidad

Tasa de Error por Familia (FWER):

Al evaluar $k$ tratamientos, el número de pares posibles es $\binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$. Cada comparación independiente acumula riesgo de falso positivo.

Para 3 tratamientos: 3 comparaciones $\implies \alpha_{global} = 1 - (0.95)^3 \approx 14.3\%$.
Para 5 tratamientos: 10 comparaciones $\implies \alpha_{global} = 1 - (0.95)^{10} \approx 40.1\%$.
La Solución de Fisher: Un único test omnibus global para contrastar igualdad simultánea.

$$\alpha_{global} = 1 - (1 - \alpha)^c, \quad c = \frac{k(k-1)}{2}$$

Fórmula de expansión del falso positivo sin corrección

Erosión de la Confianza

1 test t (2 grupos): α = 5.0% (Confianza 95%)

3 test t (3 grupos): α = 14.3% (Confianza 85.7%)

6 test t (4 grupos): α = 26.5% (Confianza 73.5%)

10 test t (5 grupos): α = 40.1% (Peligro de Falsos Positivos)

ANOVA actúa como un semáforo maestro: solo si el F global rechaza $H_0$ se autoriza la búsqueda de diferencias particulares.

2. Partición de la Varianza Total

Separación analítica entre el efecto del tratamiento y el error residual aleatorio.

Arquitectura ANOVA

Suma Entre Grupos (SS_Between)

Señal (Tratamientos)

Mide cuánto se alejan las medias de cada grupo respecto a la gran media global (Grand Mean $\bar{X}_{\cdot\cdot}$).

▪ Cuantifica el impacto real atribuible al factor experimental.
▪ Grados de libertad: $df = k - 1$.
▪ Cuadrado Medio de Tratamiento: $MS_{Between} = \frac{SS_{Between}}{k - 1}$.

$$SS_{Between} = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{X}_i - \bar{X}_{\cdot\cdot})^2$$

Si los tratamientos difieren fuertemente, este término se incrementa de forma dominante.

Suma Intra Grupos (SS_Within)

Ruido (Error Residual)

Mide la dispersión interna de los datos dentro de cada muestra respecto a su propia media local.

▪ Representa el ruido de fondo inherente o error experimental no controlado.
▪ Grados de libertad: $df = N - k$.
▪ Cuadrado Medio del Error: $MS_{Within} = \frac{SS_{Within}}{N - k}$.

$$SS_{Within} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2$$

Es el denominador de la prueba: varianzas internas descontroladas ocultan efectos reales.

3. Estructura de la Tabla ANOVA Formal

Cálculo del cociente de varianzas y contraste frente a la distribución F de Fisher-Snedecor.

Tabla de Decisión

Fuente de Variación	Suma de Cuadrados (SS)	Grados de Libertad (df)	Cuadrados Medios (MS)	Estadístico F
Entre Tratamientos (Between)	`SS_{Between}`	`k - 1`	`MS_B = \frac{SS_B}{k - 1}`	`F = \frac{MS_B}{MS_W}`
Intra Tratamientos (Error / Within)	`SS_{Within}`	`N - k`	`MS_W = \frac{SS_W}{N - k}`	Estimador $\sigma^2$ agrupado
Total	`SS_{Total}`	`N - 1`	-	-

Regla de Decisión: Si p-valor(F) < 0.05, se rechaza H0 y se concluye con 95% de confianza que al menos una media difiere.

4. Supuestos Críticos de ANOVA

Condiciones indispensables para que el estadístico F conserve su distribución teórica.

Diagnóstico de Supuestos

Normalidad de Residuos

Diagnóstico

Los errores aleatorios $e_{ij} = X_{ij} - \bar{X}_i$ deben proceder de poblaciones gaussianas.

▪ Se valida sobre los residuos del modelo lineal, no sobre la variable cruda sin agrupar.
▪ Diagnóstico gráfico: Q-Q Plot de residuos rectilíneo.
▪ Test numérico formal: scipy.stats.shapiro(residuos).

$$e_{ij} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$$

Robustez: ANOVA es moderadamente robusto a leves desviaciones de normalidad si los grupos son balanceados.

Homocedasticidad (Igualdad de Varianzas)

Crítico

Todos los grupos deben compartir la misma dispersión poblacional intrínseca ($\sigma_1^2 = \dots = \sigma_k^2$).

▪ Prueba formal obligatoria: Test de Levene (robusto a la forma).
▪ Prueba de Bartlett: Muy sensible, desaconsejada si no hay normalidad estricta.
▪ Si $p < 0.05$ en Levene: El supuesto colapsa (heterocedasticidad severa).

$$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2$$

Alerta: Varianzas dispares con grupos desbalanceados generan falsos positivos masivos.

5. Pruebas Post-Hoc: Localizando las Diferencias

Cómo identificar qué medias difieren sin desbordar el riesgo alfa.

Post-Hoc

TUKEY HSD

Diferencia Honesta Significativa

Controla rígidamente el FWER al 5% calculando el rango estudiantizado q para todos los pares simultáneamente.

Métodos de Comparación Múltiple:

Tukey HSD (Estándar de Oro)

Compara todos los pares de medias posibles manteniendo el error global en 0.05. Calcula un umbral mínimo $HSD = q_{\alpha} \sqrt{\frac{MS_W}{n}}$.

Corrección de Bonferroni

Ajusta el nivel de significación dividiéndolo por el número de contrastes ($\alpha' = \alpha / c$). Muy conservadora, eleva el error Tipo II.

Alternativa Welch / Kruskal-Wallis

Si Levene rechaza homocedasticidad, utilizar ANOVA de Welch. Si la normalidad fracasa totalmente, ejecutar Kruskal-Wallis.

6. Árbol de Decisión: Procedimiento ante Violación de Supuestos

Guía táctica para seleccionar el test adecuado según el diagnóstico de datos.

Guía Metodológica

Condición de Datos	Normalidad Residuos	Homocedasticidad (Levene)	Prueba Estadística Recomendada
Caso Ideal (Clásico)	Verificada (p > 0.05)	Verificada (p > 0.05)	ANOVA Estándar + Tukey HSD
Varianzas Desiguales	Verificada (p > 0.05)	Violada (p < 0.05)	ANOVA de Welch + Games-Howell
No Normalidad / Asimetría	Violada (p < 0.05)	Cualquiera	Test de Kruskal-Wallis (Rangos)
Medidas Repetidas (Bloques)	Verificada	Esfericidad requerida	ANOVA de Medidas Repetidas

Protocolo Profesional: Nunca reportar resultados de ANOVA clásico sin adjuntar la prueba de Levene y el Q-Q plot de residuos.

7. Laboratorio Visual: Separabilidad de Grupos y Estadístico F

Modifica la distancia entre medias para observar en tiempo real cómo el estadístico F se dispara cuando la señal supera al ruido.

Simulador en Vivo

Simulación Interactiva de 3 Grupos:

Ajusta la diferencia real del Tratamiento B y C respecto al Control A. Observa la transición del p-valor.

Diferencia entre Medias (Efecto): 1.5

Estadístico F: --

Diagnóstico: Significativo

A mayor separación entre centros, mayor es el numerador $MS_{Between}$.

Densidades Muestrales de los 3 Tratamientos k = 3, n = 30 c/u

● Grupo A (Control) ● Grupo B (Trat 1) ● Grupo C (Trat 2) F-test dinámico

8. Comparativa: ANOVA vs Kruskal-Wallis vs Chi-Cuadrado

Cuadro sinóptico de contrastes de hipótesis para múltiples muestras.

Síntesis

ANOVA 1 Factor (Paramétrico)

Media

Compara las medias de $k \ge 3$ grupos numéricos continuos bajo supuestos de normalidad y varianza común.

▪ Máxima potencia cuando los supuestos son válidos.
▪ Estadístico F de Fisher con distribución conocida.
▪ Permite diseños multifactoriales e interacciones.

$$F = \frac{MS_{Between}}{MS_{Within}} \sim \mathcal{F}_{k-1, N-k}$$

Uso principal: Ensayos de laboratorio, A/B testing multinivel y control de procesos estables.

Test de Kruskal-Wallis (No Paramétrico)

Mediana / Rangos

Compara las medianas o sumas de rangos de $k \ge 3$ muestras sin exigir normalidad en los residuos.

▪ Inmune a la presencia de outliers severos.
▪ Reemplaza valores crudos por sus posiciones ordinales.
▪ Estadístico H con distribución asintótica Chi-cuadrado.

$$H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)$$

Uso principal: Datos ordinales (encuestas Likert), distribuciones asimétricas o muestras pequeñas.

9. Protocolo Estándar para Diseños Experimentales

Checklist de ejecución para garantizar validez analítica en la industria.

Mejores Prácticas

DOE QA

Diseño Experimental

Tres reglas operativas para asegurar que las conclusiones sobre tratamientos sean estadísticamente inobjetables.

Protocolo Metodológico:

1. Aleatorización en la Asignación

Garantizar que los sujetos o lotes se asignen al azar a los tratamientos para neutralizar el efecto de variables perturbadoras no controladas.

2. Balanceo Muestral ($n_1 = n_2 = \dots = n_k$)

Priorizar tamaños muestrales iguales por tratamiento para maximizar la robustez de ANOVA ante desviaciones moderadas de homocedasticidad.

3. Confirmación de Tamaño del Efecto ($\eta^2$)

No conformarse solo con un p-valor significativo; calcular Eta-cuadrado ($\eta^2 = \frac{SS_B}{SS_T}$) para cuantificar la magnitud práctica del impacto.

¡A Programar en Jupyter Notebooks!

Validación Computacional en Entorno Jupyter Notebooks (Semana 4)

Laboratorio Hands-On

ANOVA 1 Factor DCA

10_anova_1_factor_dca.ipynb

Ajuste del modelo lineal con OLS y generación de tabla ANOVA formal.

Contrastes Post-Hoc

10_anova_1_factor_dca.ipynb

Ejecución de pairwise Tukey HSD y visualización simultánea de intervalos.

Test de Homocedasticidad

07_test_varianza.ipynb

Prueba de Levene y diagnóstico de varianzas homogéneas entre grupos.

Kruskal-Wallis No Paramétrico

08_test_mediana_wilcoxon.ipynb

Alternativa basada en rangos ante la violación del supuesto de normalidad.

Práctica Guiada (Profesor proyectando)

45 min: El profesor guía el ajuste de ANOVA en 10_anova_1_factor_dca.ipynb, la interpretación del estadístico F y la prueba de Tukey HSD.

Trabajo Autónomo (Alumnos en parejas)

75 min: Los estudiantes resuelven de forma autónoma los problemas de la Guía 2, evaluando supuestos de Levene y aplicando ANOVA o Kruskal-Wallis según corresponda.

¿Dudas sobre la descomposición de varianzas o la elección de contrastes post-hoc antes de comenzar la práctica?

Análisis de Varianza (ANOVA) & Diseño Experimental